三次方根：從一至八百萬 第38章 lg（以10為底）與ln（以e為底）的相關人員

數學發展史中的關鍵人物與思想傳承在數學的發展長河中，對數的發明是人類智慧的一座豐碑。其中，以10為底的常用對數（記作lg）和以自然常數e為底的自然對數（記作ln）不僅是數學分析、物理科學、工程計算等領域的核心工具，更承載著多位傑出數學家的思想結晶與曆史傳承。本文將係統梳理與lg和ln密切相關的數學家及其貢獻，揭示這兩個重要數學概念背後的人物群像與思想演進。

一、對數的誕生：約翰·納皮爾（JohnNapier）——對數之父對數的發明歸功於蘇格蘭數學家約翰·納皮爾（1550–1617）。他在1614年出版的《奇妙的對數定律說明書》（MirificiLogarithmorumCanonisDescriptio）中首次提出了“對數”的概念。納皮爾的初衷是簡化天文計算中繁複的乘除運算，他通過將乘法轉化為加法，極大提升了計算效率。納皮爾最初定義的對數並非現代意義上的以e為底或以10為底的對數，而是一種基於運動學模型的“納皮爾對數”。他設想兩個點沿直線運動：一個點以恒定速度移動，另一個點的速度與其到終點的距離成正比。通過對這種運動關係的數學建模，他構建了對數表。儘管納皮爾的原始對數與現代ln或lg在形式上有所不同，但其核心思想——將乘除運算轉化為加減運算——為後續發展奠定了基礎。尤為重要的是，他的工作啟發了亨利·布裡格斯（HenryBriggs），後者將對數係統改造為以10為底，從而催生了“常用對數”（lg）。

二、常用對數（lg）的奠基人：亨利·布裡格斯（HenryBriggs）亨利·布裡格斯（1561–1630）是英國牛津大學的幾何學教授，也是納皮爾思想的繼承者與實踐者。他認識到納皮爾對數在實際計算中的侷限性，尤其是底數不直觀、計算不便等問題。因此，他提出采用以10為底的對數係統，即我們現在熟知的“常用對數”（lg）。布裡格斯與納皮爾會麵後，兩人共同探討了對數的改進方案。納皮爾去世後，布裡格斯獨立完成了以10為底的對數表的編製。他在1624年出版的《對數算術》（ArithmeticaLogarithmica）中，給出了從1到20,000以及90,000到100,000的常用對數表，精確到14位小數。這一成果迅速被天文學家、航海家和工程師采納，成為科學計算的重要工具。布裡格斯的貢獻不僅在於編製了實用的對數表，更在於他確立了“以10為底”的標準，使對數真正走入日常科學計算。lg的廣泛應用，推動了17世紀科學革命的進程，也為後來的計算器和計算機發展埋下伏筆。

三、自然對數（ln）與自然常數e的淵源：雅各布·伯努利（JacobBernoulli）自然對數ln的底數e（約等於2.）並非人為規定，而是從數學內在規律中自然湧現的常數。瑞士數學家雅各布·伯努利（1655–1705）在研究複利問題時首次觸及e的本質。伯努利提出：若本金為1元，年利率為100%，若利息連續複利計算，即每瞬時都計息，那麼一年後的本息和是多少？他發現，當複利週期無限縮短時，本息和趨近於一個極限值：

雖然伯努利未能完全確定該常數的性質，但他首次揭示了e的極限定義，為自然對數的誕生提供了關鍵線索。

四、歐拉與自然對數的係統化：萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler）如果說納皮爾是“對數之父”，布裡格斯是“常用對數之父”，那麼瑞士數學巨匠萊昂哈德·歐拉（1707–1783）則是“自然對數與e的係統化者”。歐拉在18世紀中葉將e確立為自然對數的底數，並首次使用符號“e”表示該常數（可能取自“exponential”一詞的首字母）。歐拉在《無窮小分析引論》（IntroductioinAnalysinInfinitorum,1748）中，係統地研究了指數函數與對數函數的關係。他定義了自然對數lnx為以e為底的對數函數，並推導出其冪級數展開：

這一公式將指數函數、三角函數與複數統一起來，深刻揭示了ln與e在數學結構中的核心地位。歐拉還證明瞭e是無理數，並計算出其近似值到多位小數。他將ln和e納入微積分體係，使其成為分析學的基本工具。可以說，現代數學中ln的理論框架，正是由歐拉奠定的。

五、對數函數的分析拓展：皮埃爾-西蒙·拉普拉斯與約瑟夫·傅裡葉進入18世紀末至19世紀，對數函數在物理與工程中的應用日益廣泛。法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace）在天體力學研究中大量使用對數進行近似計算，他發展了“拉普拉斯變換”，其中自然對數與指數函數是核心組成部分。約瑟夫·傅裡葉（JosephFourier）在熱傳導理論中引入傅裡葉級數與傅裡葉變換，其推導過程中頻繁使用ln與e，進一步鞏固了自然對數在數學物理方程中的地位。

六、現代計算中的lg與ln：計算科學的推動者20世紀以來，隨著計算機科學的發展，lg與ln在演算法分析、資訊論、概率統計等領域發揮著關鍵作用。在演算法複雜度分析中，時間因此在漸進分析中等價。