悍宋：朕，趙構，不做昏君！ 第258章 數學新篇，李冶發明天元術

紹興四十年，秋。

真定府（今河北正定）城內一處清靜的院落，棗樹掛果，蟬鳴已歇。

書房內，一位年近四旬、麵容清臒的學者，正對著滿案算籌和寫滿奇異符號的草紙凝神沉思。

他便是被譽為“宋元數學四大家”之一的李冶（字仁卿）。

此時的他，因中原戰亂，流寓北方，被嶽飛幕府聘為記室參軍兼府學教授，主要職責是文書和教育，但從未間斷對算學的癡迷與研究。

案頭，堆放著《九章算術》、劉徽注、《緝古算經》、賈憲的“增乘開方法”與“開方作法本源圖”（即賈憲三角），以及更令他振奮的、不久前才由商隊輾轉帶來的、南宋秦九韶所著《數書九章》的部分抄本。

秦九韶的“大衍求一術”（一次同餘式組解法）和“正負開方術”（高次方程數值解法）令他拍案叫絕，但同時也感到，這些卓越的演算法在表達和推演上，仍依賴於大量文字敘述和算籌擺放，過程繁複，不夠抽象和係統。

“盈不足、方程、勾股、少廣……諸術雖精，然表述各異，推演遷曲。可否如‘天’之統攝萬物，立一‘元’，以貫之？”

這個念頭在李冶心中盤旋已久。

他所謂的“元”，便是未知數的概念。

漢代的“方程術”已隱含未知數思想，但未抽象出來。

賈憲、秦九韶的工作為解決高次方程提供了強大工具，但列方程的過程本身，仍缺乏一種通用、簡潔的符號語言。

他的目光落在草紙上一行行用漢字、特定記號和算籌式混合書寫的算式上，那是他嘗試解決一個涉及田畝、賦稅、人工的複雜實際問題時列出的關係。

問題最終歸結為求解一個三次方程。

他用秦九韶的“正負開方術”可以解出，但列出這個方程的過程，卻寫滿了大半張紙，反覆設“假令”、進行“如積相消”。

“太繁！”李冶擲筆，在房中踱步。

“須有一種法，如同用‘天、地、人、物’代指方位，設立一個符號，代表所求之數，然後依題意，直接列出其與已知數之關係算式。”

他想起道教典籍中常用“元”、“太乙”等字代表本源、初始。

又想到《周易》用陰陽爻符號推演變化。

“或許，可用一特定漢字，如‘天元’，或簡化符號，代表所求未知之大。

再立‘地元’代表另一未知，或以位置上下表示冪次……”

靈感如電光石火般閃現。

他重新撲到案前，取過一張新紙。

不再用長段文字描述，而是用毛筆寫下：

“設天元一為方田之廣。”（設未知數x為長方形田的寬）

然後，根據題意，“其長多廣三步”，則長為(x 3)。“田積一百二十步”，則有x(x 3)=120。

他嘗試用一種新的方式書寫這個等式。

他將常數項稱為“太極”或“常”，寫在最下方。

將未知數的一次項稱為“天元”，將二次項稱為“天元平方”。

他借鑒算籌記數中“空位表示零”和位置表示值的原則，創造性地使用一種“係數陣列”式的寫法，不同位置代表未知數的不同次冪。

例如，將上述方程x2 3x-120=0，表示為一種自上而下（或自下而上，他尚未完全統一）排列的係數序列，其中每一個係數所在的位置，就暗含了它屬於未知數的哪一次冪，而不再需要每次都寫出“天元”、“平方”等字。

這看似隻是書寫形式的改變，卻是革命性的一步。

它將設立未知數、根據條件列出代數方程、以及對方程進行移項、合併同類項等運算的過程，符號化、程式化了。

從此，解決應用問題不再需要每次從頭進行複雜的文字推理和算籌演示，而是可以先“立天元一”（設未知數），再“如積相消”（列出方程），然後運用已有的開方術求解。

這大大簡化了思維過程，提高了效率，也使得處理更複雜、更高次的問題成為可能。

李冶將這套方法，命名為“天元術”。

在隨後數月裡，他不斷用此法去嘗試解決《九章算術》、《緝古算經》乃至秦九韶《數書九章》中的難題，以及幕府中實際遇到的工程計算、糧餉分配、營寨佈局等問題。

他發現，天元術不僅適用於二次、三次方程，理論上可推廣至任意高次方程。

他還初步探討了多元高次方程組（即後來“四元術”的雛形）的可能性，意識到可以設立“天元”、“地元”、“人元”、“物元”等多個未知數。

一日，他將用天元術重新演繹、並補充了自己新解的若乾算題，整理成篇，呈送給欣賞其才學的嶽飛過目。

嶽飛雖非算學專家，但於軍旅之中深知算學之要，見其所述方法，條理清晰，推演簡明，遠勝舊法，不禁讚歎：“先生此術，化繁為簡，直指核心，實乃算學之利器！

可名之曰‘天元’，有開宗立元之功。

幕府中凡錢糧、工程、測量之事，皆可試以此術覈算。”

得到嶽飛的認可與支援，李冶備受鼓舞，開始著手係統撰寫一部闡述天元術的著作，這便是後世著名的《測圓海鏡》的雛形。

他將算籌與符號結合，建立了相對完整的一元高次方程列方程與表示方法。

儘管其符號係統尚未完全統一和簡化到後世“天元式”的標準形式，但核心思想已然確立。

“天元術”的創立，標誌著中國代數學進入了一個新的階段。

它從以演算法為中心，轉向了以方程為中心，為解決更複雜的數學問題提供了強大而係統的工具。

這份誕生於宋金對峙前線、受南宋算學最新成果啟發、又由北地學者完成的數學突破，很快將通過商旅、學者的往來，回傳至南宋，與秦九韶等人的工作相互輝映，共同將十三世紀的中國數學推向那個時代的世界巔峰。

而這巔峰的光芒，也必將照亮這個時代科技與工程的各個角落。