費馬傳 第二章 費馬主要貢獻

{

\"code\": 200,

\"title\": \"\",

\"content\": \"一 對解析幾何的貢獻\\n\\n1. 對解析幾何的介紹\\n\\n基本介紹\\n\\n解析幾何包括平麵解析幾何和立體解析幾何兩部分。平麵解析幾何通過平麵直角座標係，建立點與實數對之間的一一對應關係，以及曲線與方程之間的一一對應關係， 運用代數方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數問題。17世紀以來，由於航海、天文、力學、軍事、生產的發展，以及初等幾何和初等代數的迅速發展，促進瞭解析幾何的建立，並被廣泛應用於數學的各個分支。在解析幾何創立以前，幾何與代數是彼此獨立的兩個分支。解析幾何的建立第一次真正實現了幾何方法與代數方法的結合，使形與數統一起來，這是數學發展史上的一次重大突破。\\n\\n作為變量數學發展的第一個決定性步驟，解析幾何的建立對於微積分的誕生有著不可估量的作用。\\n\\n曆史介紹\\n\\n十六世紀以後，由於生產和科學技術的發展，天文、力學、航海等方麵都對幾何學提出了新的需要。比如，德國天文學家開普勒發現行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；意大利科學家伽利略發現投擲物體是沿著拋物線運動的。這些發現都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較複雜的曲線，原先的一套方法顯然已經不適應了，這就導致瞭解析幾何的出現。\\n\\n1637年，法國的哲學家和數學家笛卡爾發表了他的著作 《方法論》，這本書的後麵有三篇附錄，一篇叫《折光學》，一篇叫《流星學》，一篇叫《幾何學》。當時的這個\\\"幾何學\\\"實際上指的是數學，就像我國古代\\\"算術\\\"和\\\"數學\\\"是一個意思一樣。\\n\\n笛卡爾的《幾何學》共分三卷，第一卷討論尺規作圖；第二卷是曲線的性質；第三卷是立體和\\\"超立體\\\"的作圖，但他實際是代數問題，探討方程的根的性質。後世的數學家和數學史學家都把笛卡爾的《幾何學》作為解析幾何的起點。\\n\\n從笛卡爾的《幾何學》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種\\\"普遍\\\"的數學，把算術、代數、幾何統一起來。他設想，把任何數學問題化為一個代數問題，在把任何代數問題歸結到去解一個方程式。\\n\\n為了實現上述的設想，笛卡爾茨從天文和地理的經緯製度出發，指出平麵上的點和實數對(x,y)的對應關係。x,y的不同數值可以確定平麵上許多不同的點，這樣就可以用代數的方法研究曲線的性質。這就是解析幾何的基本思想。\\n\\n具體地說，平麵解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平麵建立座標係，一點的座標與一組有序的實數對相對應；第二，在平麵上建立了座標係後，平麵上的一條曲線就可由帶兩個變數的一個代數方程來表示了。從這裡可以看到，運用座標 法不僅可以把幾何問題通過代數的方法解決，而且還把變量、函數以及數和形等重要概念密切聯絡了起來。\\n\\n解析幾何的產生並不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學》以前，就有許多學者研究過用兩條相交直線作為一種座標係；也有人在研究天文、地理的時候，提出了一點位置可由兩個\\\"座標\\\"（經度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創建產生了很大的影響。\\n\\n在數學史上，一般認為和笛卡爾同時代的法國業餘數學家費爾馬也是解析幾何的創建者之一，應該分享這門學科創建的榮譽。\\n\\n費爾馬是一個業餘從事數學研究的學者，對數論、解析幾何、概率論三個方麵都有重要貢獻。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的\\\"書\\\"無意發表。但從他的通訊中知道，他早在笛卡爾發表《幾何學》以前，就已寫了關於解析幾何的小文，就已經有瞭解析幾何的思想。隻是直到1679年，費爾馬死後，他的思想和著述才從給友人的通訊中公開發表。\\n\\n笛卡爾的《幾何學》，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數學新園地做出了貢獻。\\n\\n基本內容\\n\\n在解析幾何中，首先是建立座標係。如上圖，取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平麵上的一個直角座標係xoy。利用座標係可以把平麵內的點和一對實數(x,y)建立起一一對應的關係。除了直角座標係外，還有斜座標係、極座標係、空間直角座標係等等。在空間座標係中還有球座標和柱麵座標。\\n\\n座標係將幾何對象和數、幾何關係和函數之間建立了密切的聯絡，這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數量關係的研究了。用這種方法研究幾何學，通常就叫做解析法。這種解析法不但對於解析幾何是重要的，就是對於幾何學的各個分支的研究也是十分重要的。\\n\\n解析幾何的創立，引入了一係列新的數學概念，特彆是將變量引入數學，使數學進入了一個新的發展時期，這就是變量數學的時期。解析幾何在數學發展中起了推動作用。恩格斯對此曾經作過評價\\\"數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了，……\\\"\\n\\n學科應用\\n\\n解析幾何又分作平麵解析幾何和空間解析幾何。\\n\\n在平麵解析幾何中，除了研究直線的有關直線的性質外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關性質。\\n\\n在空間解析幾何中，除了研究平麵、直線有關性質外，主要研究柱麵、錐麵、旋轉曲麵。\\n\\n如橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質，在生產或生活中被廣泛應用。比如電影放映機的聚光燈泡的反射麵是橢圓麵，燈絲在一個焦點上，影片門在另一個焦點上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛星的天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理製成的。\\n\\n總的來說，解析幾何運用座標法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點的軌跡，通過座標係建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質。\\n\\n運用座標法解決問題的步驟是：首先在平麵上建立座標係，把已知點的軌跡的幾何條件\\\"翻譯\\\"成代數方程；然後運用代數工具對方程進行研究；最後把代數方程的性質用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。\\n\\n座標法的思想促使人們運用各種代數的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學中的難題，一旦運用代數方法後就變得平淡無奇了。座標法對近代數學的機械化證明也提供了有力的工具。\\n\\n圓錐曲線\\n\\n希臘著名學者梅內克繆斯（公元前4世紀）企圖解決當時的著名難題\\\"倍立方問題\\\"（即用直尺和圓規把立方體體積擴大一倍）。他把直角三角形ABC的直角A的平分線AO作為軸。旋轉三角形ABC一週，得到曲麵ABECE＇，如圖1。用垂直於AC的平麵去截此曲麵，可得到曲線EDE＇，梅內克繆斯稱之為\\\"直角圓錐曲線\\\"。他想以此在理論上解決\\\"倍立方問題。\\\"未獲成功。而後，便撤開\\\"倍立方問題\\\"，把圓錐曲線做為專有概念進行研究：若以直角三角形ABC中的長直角邊AC為軸旋轉三角形ABC一週，得到曲麵CB＇EBE＇，如圖2。用垂直於BC的平麵去截此曲麵，其切口為一曲線，稱之為\\\"銳角圓錐曲線\\\"；若以直角三角形ABC中的短直角邊AB為軸旋轉三角形ABC一週，可得到曲麵BC＇ECE＇。如圖3。用垂直於BV的平麵去截此曲麵，其切口曲線EDE＇稱為\\\"鈍角圓錐曲線\\\"。當時，希臘人對平麵曲線還缺乏認識，上述三種曲線須以\\\"圓錐曲麵為媒介得到，因此，被稱為圓錐曲線的\\\"雛形\\\"。\\n\\n分支學科\\n\\n算術、初等代數、高等代數、數論、歐式幾何、非歐幾何、微分幾、代數幾何學、射影幾何學、拓撲學、分形幾何、微積分學、實變函數論、概率和數理統計、複變函式論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數理邏輯、模糊數學、運籌學、計算數學、突變理論、數學物理學\\n\\n\"

}