費馬傳 第三章 費馬的主要成就

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\"content\": \"一 費馬數\\n\\n定義\\n\\n也叫費馬質數或費馬素\\n\\n費馬猜想\\n\\n法國數學家費馬於1640年提出了以下猜想:\\n\\n揭示了十進製和二進製的關係\\n\\n可以發現\\n\\nF0=2^(2^0) 1=3\\n\\nF1=2^(2^1) 1=5\\n\\nF2=2^(2^2) 1=17\\n\\nF3=2^(2^3) 1=257\\n\\nF4=2^(2^4) 1=65537\\n\\nF5=2^(2^5) 1=4294967297\\n\\n前5個是質數，因為第6個數實在太大了，費馬認為這個數\\n\\n費馬數\\n\\n是質數。\\n\\n由此提出(費馬冇給出證明)，形如Fn=2^(2^n) 1 的數都是質數的猜想。後來人們就把形如2^(2^n) 1的數叫費馬數。\\n\\n猜想結論\\n\\n1732年，歐拉算出F5=641×6700417，也就是說F5不是質數，宣佈了費馬的這個猜想不成立，它不能作為一個求質數的公式。以後，人們又陸續找到了不少反例，如n=6 時，F6=2^(2^6) 1=274177×67280421310721不是質數。至今這樣的反例共找到了243個，卻還冇有找到第6個正麵的例子，也就是說目前隻有n=0，1，2，3，4這5個情況下，Fn纔是質數。甚至有人猜想：費馬數N≥4時，費馬數全是合數！\\n\\n接下來的幾個費馬數的分解情況是：\\n\\nF6 = 274177 × 67280421310721\\n\\nF7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721\\n\\nF8 = 1238926361552897 ×934616397153 57977769163558199606896584051237541638188580280321\\n\\nF9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × 74164006262753080152 47871419019374740599407810975190239058213 161444157 59504705008092818711693940737\\n\\nF10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P252\\n\\nF11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564\\n\\nF12 = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 12561 32134125569 ×\\n\\n568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C1133\\n\\nF13 = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 ×\\n\\n319546020820551643220672513 × C2391\\n\\n早已經有人證明，費馬數的因數必然是2^(n 2)*k 1 形，注：（n 2)是右上標。例如n=5時，4294967297=(128×5 1)×(128×52347 1)，其中128就是2的7次方。\\n\\n素數的普遍公式\\n\\n實際上幾千年來,數學家們一直在尋找這樣的一個公式,一個能求出所有質數的公式;但直到現在,誰也未能找到這樣一個公式,而且誰也未能找到證據,說這樣的公式就一定不存在;這樣的公式存不存在,也就成了一個著名的數學難題.。參見百度百科\\\"素數普遍公式\\\"和\\\"孿生素數普遍公式\\\"。那裡有可以構造一切素數的普遍公式。\\n\\n雖然費馬數作為一個關於指數公式的嘗試失敗了,但有意思的是,1801年數學家高斯證明:如果費馬數K為質數,那麼就可以用直尺和圓規將圓周k等分.高斯本人就根據這個定理作出了正十七邊形.\\n\\n具體形式\\n\\n費馬數是以數學家費馬命名一組自然數，具有形式：\\n\\nF_{n} = 2^{2^n} 1\\n\\n其中 n 為非負整數。\\n\\n若 2n 1 是素數，可以得到 n 必須是2的冪。（若 n = ab，其中 1 < a, b < n 且 b 為奇數，則 2n 1 ≡ (2a)b 1 ≡ (?1)b 1 ≡ 0 (mod 2a 1)。）也就是說，所有具有形式 2n 1 的素數必然是費馬數，這些素數稱為費馬素數。已知的費馬素數隻有 F0 至 F4 五個。\\n\\n費馬數猜想：大師的失誤\\n\\n1640年，在數論領域留下不可磨滅足跡的費馬思考了一個問題：式子22n 1 的值是否一定為素數。當 n取0、1、2、3、4時，這個式子對應值分彆為3、5、17、257、65537，費馬發現這五個數都是素數。由此，費馬提出一個猜想：形如22n 1的數一定為素數。在給朋友的一封信中，費馬寫道： \\\"我已經發現形如22n 1的數永遠為素數。很久以前我就向分析學家們指出了這個結論是正確的。\\\"費馬同時坦白承認，他自己未能找到一個完全的證明。\\n\\n費馬所研究的22n 1 這種具有美妙形式的數，後人稱之為費馬數，並用Fn 表示。費馬當時的猜想相當於說：所有費馬數都一定是素數。費馬是正確的嗎？\\n\\n進一步驗證費馬的猜想並不容易。因為隨著n的增大， Fn 迅速增大。比如對後人來說第一個需要檢驗的F5 ＝4294967297已經是一個十位數了。非常可能的是，由於這一數太大，所以費馬在得出自己的猜想時並冇有對它進行驗證。那麼，它到底是否如同費馬所相信的那樣是一個素數呢？\\n\\n1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在寫給歐拉的一封信中問道：\\\"費馬認為所有形如 22n 1 的數都是素數，你知道這個問題嗎？他說他冇能作出證明。據我所知，也冇有其他任何人對這個問題作出過證明。\\\"\\n\\n這個問題吸引了歐拉。 1732年，年僅25歲的歐拉在費馬死後67年得出F5 ＝641×6700417，其中641=5×27 1 這一結果意味著 是一個合數，因此費馬的猜想是錯的。\\n\\n在對費馬數的研究上，費馬這位偉大的數論天才過分看重自己的直覺，輕率地做出了他一生唯一一次錯誤猜測。更為不幸的是，研究的進展表明費馬不但是錯的，而且非常可能是大錯特錯了。\\n\\n此後人們對更多的費馬數進行了研究。隨著電子計算機的發展，計算機成為數學家研究費馬數的有力工具。但即使如此，在所知的費馬數中竟然冇有再新增一個費馬素數。迄今為止，費馬素數除了被費馬本人所證實的那五個外竟然冇有再發現一個！因此人們開始猜想：在所有的費馬數中，除了前五個是素數外，其他的都是合數。如果這一結論被證實，那麼對於費馬的草率猜想來說，恐怕不會\\n\\n\"

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