拉格朗日傳 二 對群倫的貢獻

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\"content\": \"1. 對群倫介紹\\n\\n基本概念\\n\\n群的定義\\n\\n設G是一個非空集合，*是它的一個代數運算，如果滿足以下條件： Ⅰ.結合律成立，即對G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)；\\n\\nⅡ.G中有元素e，叫做G的左單位元，它對G中每個元素a都有 e*a=a；\\n\\nⅢ.對G中每個元素a在G中都有元素a^（-1），叫做a的左逆元，使 a^（-1）*a=e；\\n\\n則稱G對代數運算*做成一個群。\\n\\n一般說來，群指的是對於某一種運算*，滿足以下四個條件的集合G：\\n\\n（1）封閉性\\n\\n若a,b∈G,則存在唯一確定的c∈G,使得a*b=c;\\n\\n（2）結合律成立\\n\\n任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);\\n\\n（3）單位元存在\\n\\n存在e∈G,對任意a∈G，滿足a*e=e*a=a，稱e為單位元，也稱幺元;\\n\\n（4）逆元存在\\n\\n任意a∈G,存在唯一確定的b∈G, a*b=b*a=e（單位元），則稱a與b互為逆元素，簡稱逆元，記作a^(-1)=b.\\n\\n通常稱G上的二元運算*為\\\"乘法\\\"，稱a*b為a與b的積，並簡寫為ab.\\n\\n若群G中元素個數是有限的，則G稱為有限群。否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。\\n\\n定義運算\\n\\n對於g∈G，H包含於G，g*H={gh|h∈H}，簡寫為gH；H*g={hg|h∈H}，簡寫為Hg.\\n\\nA，B包含於G，A*B={ab|a∈A,b∈B}，簡寫為AB.\\n\\n群的替換定理\\n\\nG對*是群，則對於任一g∈G，gG=Gg=G.\\n\\n定義記法\\n\\nG對*是群，集合H包含於G，記H^(-1)={h^(-1)|h∈H}\\n\\n子群的定義\\n\\n如果G對於運算*為一個群，H包含於G並且H對*構成一個群，那麼稱H為G的子群。\\n\\n這條定理可以判定G的子集是否為一個子群：\\n\\nHH=H且H^(-1)=H H是G的子群\\n\\n曆史\\n\\n群論是法國傳奇式人物伽羅瓦（ Gal·is，1811~1832年）的發明。他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。在此之後柯西（Augustin-L·uis Cauchy,1789~1857年)，阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802~1829年）等人也對群論作出了發展。\\n\\n最先產生的是n個文字的一些置換所構成的置換群，它是在研究當時代數學的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時,經由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發展，並有成效地用它徹底解決了這箇中心問題。某個數域上一元n次多項式方程,它的根之間的某些置換所構成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，1832年伽羅瓦證明瞭：一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為\\\"可解群\\\"（見有限群）。由於一般的一元n次方程的伽羅瓦群是n個文字的對稱群Sn，而當n≥5時Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽羅瓦還引入了置換群的同構、正規子群等重要概念。應當指出，A.-L.柯西早在1815年就發表了有關置換群的第一篇論文，並在1844～1846年間對置換群又做了很多工作。至於置換群的係統知識和伽羅瓦用於方程理論的研究，由於伽羅瓦的原稿是他在決鬥致死前夕趕寫成的，直到後來纔在C.若爾當的名著\\\"置換和代數方程專論\\\"中得到很好的介紹和進一步的發展。置換群是最終產生和形成抽象群的第一個最主要的來源。\\n\\n在數論中，拉格朗日和C.F.高斯研究過由具有同一判彆式D的二次型類,即f=ax^2 2bxy cy^2,其中a、b、с為整數，x、y 取整數值，且D＝b^2-aс為固定值，對於兩個型的\\\"複合\\\"乘法,構成一個交換群。J.W.R.戴德金於1858年和L.克羅內克於1870年在其代數數論的研究中也引進了有限交換群以至有限群。這些是導致抽象群論產生的第二個主要來源。\\n\\n在若爾當的專著影響下，（C.）F.克萊因於1872年在其著名的埃爾朗根綱領中指出，幾何的分類可以通過無限連續變換群來進行。克萊因和（J.-）H.龐加萊在對 \\\"自守函數\\\"的研究中曾用到其他類型的無限群（即離散群或不連續群）。在1870年前後，M.S.李開始研究連續變換群即解析變換李群,用來闡明微分方程的解,並將它們分類。這無限變換群的理論成為導致抽象群論產生的第三個主要來源。\\n\\nA.凱萊於1849年、 1854年和 1878年發表的論文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗羅貝尼烏斯於1879年和E.內托於1882年以及W.F.A.v·n迪克於 1882～1883年的工作也推進了這方麵認識。19世紀80年代，綜合上述三個主要來源，數學家們終於成功地概括出抽象群論的公理係統，大約在1890年已得到公認。20世紀初，E.V.亨廷頓，E.H.莫爾，L.E.迪克森等都給出過抽象群的種種獨立公理係統，這些公理係統和現代的定義一致。\\n\\n在1896～1911年期間，W.伯恩賽德的\\\"有限群論\\\"先後兩版,頗多增益。G.弗羅貝尼烏斯、W.伯恩賽德、I.舒爾建立起有限群的矩陣表示論後，有限群論已然形成。無限群論在20世紀初，也有專著,如1916年Ο.ю.施米特的著作。群論的發展導致20世紀30年代抽象代數學的興起。尤其是近30年來,有限群論取得了巨大的進展,1981年初，有限單群分類問題的完全解決是一個突出的成果。與此同時，無限群論也有快速的進展。\\n\\n時至今日，群的概念已經普遍地被認為是數學及其許多應用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學、代數拓撲學、函數論、泛函分析及其他許多數學分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學科如拓撲群、李群、代數群、算術群等，它們還具有與群結構相聯絡的其他結構如拓撲、解析流形、代數簇等，並在結晶學、理論物理、量子化學以至（代數）編碼學、自動機理論等方麵，都有重要的應用。作為推廣\\\"群\\\"的概唸的產物：半群和幺半群理論及其近年來對計算機科學和對運算元理論的應用，也有很大的發展。群論的計算機方法和程式的研究，已在迅速地發展。\\n\\n今天，群論經常應用於物理領域。粗略地說，我們經常用群論來研究對稱性，這些對稱效能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質。它也跟物理方程聯絡在一起。基礎物理中常被提到的李群，就類似與伽羅瓦群被用來解代數方程，與微分方程的解密切相關。\\n\\n在物理上，置換群是很重要的一類群。置換群包括S3群，二維旋轉群，三維旋轉群以及和反應四維時空相對應的洛侖茲群。洛侖茲群加上四維變換就構成了P·incare群。\\n\\n另外，晶體學中早期的關於晶體的各種結構的問題中，也是靠群論中的費得洛夫群的研究給出了答案。群論指出，空間中互不相同的晶體結構隻有確定的230種。\\n\\n在研究群時，使用表象而非群元是較方便的，因為群元一般來說都是抽象的事物。表象可以看成矩陣，而矩陣具有和群元相同的性質。不可約表象和單位表象是表象理論中的重要概念。\\n\\n在許多研究群論的數學家眼中，也即指在抽象群論中，數學家關心的是各元素間的運算關係，也即群的結構，而不管一個群的元素的具體含義是什麼。舉一個具體的例子，群論研究表明，任何一個群都同構於由群的元素組成的置換群。於是，特彆是對研究有限群來說，研究置換群就是一個重要的問題了。\\n\\n群的例子\\n\\n全體整數的加法構成一個群\\n\\n全體非零實數的乘法構成一個群\\n\\n對三個互不相同的有序對象的6種不同順序間的改變（包括不變的情況）構成一個六階的群（這是一個有限的置換群的例子） ,它由此被標記為S3\\n\\n\"

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