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第三章 與拉格朗日有關的數學、物理學概念
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\"title\": \"\",
\"content\": \"一 拉格朗日方程\\n\\n拉格朗日方程：對於完整係統用廣義座標表示的動力方程，通常係指第二類拉格朗日方程,是法國數學家J.-L.拉格朗日首先導出的。\\n\\n通常可寫成：\\n\\n， (1)\\n\\n式中T為係統用各廣義座標qj和各廣義速度妜j所表示的動能；Qj為對應於qj的廣義力;N(=3n-k)為這完整係統的自由度；n為係統的質點數；k為完整約束方程個數。\\n\\n從虛位移原理可以得到受理想約束的質點係不含約束力的平衡方程，而動靜法(達朗貝爾原理)則將列寫平衡方程的靜力學方法應用於建立質點係的\\n\\n完整係的拉格朗日方程\\n\\n動力學方程，將這兩者結合起來，便可得到不含約束力的質點係動力學方程,這就是動力學普遍方程。而拉格朗日方程則是動力學普遍方程在廣義座標下的具體表現形式。\\n\\n拉格朗日\\n\\n完整係的拉格朗日方程\\n\\n方程可以用來建立不含約束力的動力學方程，也可以用來在給定係統運動規律的情況下求解作用在係統上的主動力。如果要想求約束力，可以將拉格朗日方程與動靜法或動量定理(或質心運動定理)聯用。\\n\\n通常，我們將牛頓定律及建立在此基礎上的力學理論稱為牛頓力學(也稱向量力學)，將拉格朗日方程及建立在此基礎上的理論稱為拉格朗日力學。\\n\\n拉格朗日力學通過位形空間描述力學係統的運動，它適合於研究受約束質點係的運 動。拉格朗日力學在解決微幅振動問題和剛體動力學的一些問題的過程中起了重要的作用。\\n\\n動力學普遍方程\\n\\n將動靜法與虛位移原理結合，就得到了動力學普遍方程：受有理想約束的質點係\\n\\n將上式代入係統的動能表達式\\n\\n在運動過程中，其上所受的主動力和慣性力在質點係的任何虛位移上所做的虛功之和為零。\\n\\n動力學普遍方程儘管被稱之為方程，但在實際應用時，我們更應將它視為一個原理：動力學普遍原理，它指導我們列寫動力學方程。\\n\\n如果你能熟練應用虛位移原理，則動力學普遍方程的應用將是一個很熟識的過程：在考慮係統的主動力的同時再加入係統的慣性力，然後對該力係應用虛位移原理。\\n\\n在實際應用中，當加入係統的慣性力時，常常要補充運動學方程：係統的速度、加速度之間的關係。\\n\\n運用動力學普遍方程建立的獨立的動力學方程的個數等於係統的自由度，這一點也是與虛位移原理相同。\\n\\n一般而言，如果要建立係統在特殊位置的動力學關係，可以考慮應用動力學普遍方程\\n\\n廣義力為\\n\\n。如果要建立係統在任意一般位置的動力學關係，則應考慮應用拉格朗日方程。\\n\\n拉格朗日方程\\n\\n拉格朗日方程的一般形式是：\\n\\n因V中不含妜j, 所以\\n\\nd\\/dt(?T\\/?qi導)-(?T\\/?qi)=Qi\\n\\n式中T為用各廣義座標qi和廣義速度 qi導 表示的係統的動能；Qi為對應qi的廣義力。方程式的個數等於係統的自由度N。保守係統中存在勢函數V（q1，q2，…，qN；t)，則廣義力Q=?V\\/?qi，又因V中不含qi，即?V\\/?qi＝0，\\n\\n故完整保守係統的拉格朗日方程為：\\n\\n係統以B點為標準的勢能V和係統的動能T為\\n\\nd\\/dt(?L\\/?qi)-(?L\\/?qi)=0（i＝1，2，…，N)\\n\\n式中L＝T－U為拉格朗日函數，它等於係統的動勢T與位勢U之和。上式與變分問題中的歐拉方程形式相同，由此可導出哈密頓原理。\\n\\n可得係統的運動方程\\n\\n可得係統的運動方程\\n\\n\"
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