拉格朗日傳 2. 拉格朗日的貢獻

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\"content\": \"同18世紀的其他數學家一樣，拉格朗日也認為函數可以展開為無窮級數，而無窮級數則是多項式的推廣．他還試圖用代數建立微積分的基礎．在他的《解析函數論……》(《文集》Ⅸ)中，書名上加的小標題\\\"含有微分學的主要定理，不用無窮小，或正在消失的量，或極限與流數等概念，而歸結為代數分析藝術\\\"，表明瞭他的觀點．由於迥避了極限和級數收斂性問題，當然就不可能建立真正的級數理論和函數論，但是他們的一些處理方法和結果仍然有用，他們的觀點也在發展．\\n\\n拉格朗日就在《解析函數論……》中，第一次得到微分中值定理(書中第六章)\\n\\nf(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)\\n\\n後麵並用它推導出泰勒(Tayl·r)級數，還給出餘項Rn的具體表達式(第二十章)\\n\\nRn就是著名的拉格朗日餘項形式．他還著重指出，泰勒級數不考慮餘項是不能用的．雖然他還冇有考慮收斂性，甚至各階導數的存在性，但他強調Rn要趨於零．表明他已注意到收 題．\\n\\n他同歐拉、達朗貝爾等在任意函數能否表為三角級數的長期爭論，雖未解決，但為以後三角級數理論的建立打下了基礎．\\n\\n最後要提一下他在《師範學校數學基礎教程》中，提出了著名的拉格朗日內插公式\\n\\n直到現在計算機計算大量中點內插時仍在使用．另外在求多元函數相對極大極小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用．\\n\\n除了對數學分析在18世紀建立的主要分支有開拓性貢獻外，他對嚴格化問題也開始注意．儘管迴避了極限概念，但他仍承認可以在極限基礎上建立微積分(《文集》Ⅰ，p．325)．但正是對嚴格化重視不夠，所建立的分支到一定階段就很難深入．這可能是他晚年研究工作少的原因．他在1781年9月21日給達朗貝爾的信中說：\\\"在我看來，似乎(數學)礦井已挖掘很深了，除非發現新礦脈，否則勢必放棄它…．\\\"(《文集》XⅢ368．)這說出了他和其他同事們的心情．事實表明，19世紀在建立數學分析嚴格基礎後，數學更迅速地發展．\\n\\n分析力學的創立者 牛頓的力學理論仍用幾何方法討論．到18世紀中期，歐拉和達朗貝爾開始用分析方法，而拉格朗日在使力學分析化方麵最出色，他在1788年出版的《分析力學》一書，就是分析力學這門學科建立的代表作．他一生的全部力學論文以及同時代人的力學貢獻，都歸納到這部著作中．他的研究目的是使力學成為數學分析的分支．他在《分析力學》的序言中說：\\\"…我在其中闡明的方法，既不要求作圖，也不要求幾何的或力學的推理，而隻是一些按照一致而正規的程式的代數(分析)運算．喜歡分析的人將高興地看到，力學變成了它的一個新分支，並將感激我擴大了它的領域．\\\"實際情況正是這樣．\\n\\n拉格朗日在這方麵的最大貢獻是把變分原理和最小作用原理具體化，而且用純分析方法進行推理，成為拉格朗日方法．\\n\\n他首先引入廣義座標概念，故廣義座標又稱為拉格朗日座標．一個力學係統可用有限個座標qj(j=1，2，…，N)表示；qj= dqj\\/dt為相應的廣義速度．力學係統總動能T(拉格朗日稱之為活力)表為qj·qj和時間t的函數後，定義\\n\\n為作用，最小作用原理成為δI=0．拉格朗日用變分法討論δI=0時，導出了力學係統的運動方程為\\n\\n其中Qj為力學係統受到的作用力在廣義座標中的表達式，稱為廣義力．如力為保守的，則存在勢函數V，(16)式成為\\n\\n(16)或(17)式就是第二類拉格朗日方程．後來S．D．泊鬆(P·iss·n)等引入函數\\n\\nL就取名為拉格朗日函數．\\n\\n拉格朗日還把這些方法用於研究質點組，剛體和流體．在流體力學中討論流體內各點的運動方法仍稱為拉格朗日方法．\\n\\n最後收集到《文集》中的《分析力學》是第二版，共分兩卷，785頁．第一卷中一半講述\\\"靜力學\\\"，主要討論質點組和流體的平衡問題．從分析靜力學原理開始，討論了質點組和流體的平衡條件，並用於研究行星的形狀．第一卷後半和第二卷全部討論\\\"動力學\\\"．\\n\\n動力學部分共分為十三章，前四章講述動力學原理和建立質點係統運動方程的拉格朗日方法，包括(16)，(17)式的推導以及運動的一般性質．第五章\\\"用任意常數變化解動力學問題的一般近似方法\\\"中，把他在微分方程解法中的任意常數變異法用於解動力學方程．後麵討論了一階近似的求積方法．第七章\\\"關於能看作質點的自由物體係統在引力作用下的運動\\\"主要講天體力學的基本問題．第八、九章討論不動中心吸引問題和剛體動力學．第十章討論地球自轉和月球天平動．最後三章討論流體動力學基本問題，作為拉格朗日方法的應用．\\n\\n拉格朗日創立分析力學使力學發展到新的階段．拉格朗日方程(16)，(17)式推廣了牛頓第二運動定律；使得在任意座標係下有統一形式的運動方程，便於處理各種約束條件等優點，至今仍為動力學中的最重要的方程．在《分析力學》第二版印出(第二卷1816年)後不久，W．R．哈密頓(Hamilt·n)於1834年提出廣義動量並建立哈密頓正則方程，又同K．G．雅可比(Jac·bi)一起建立哈密頓-雅可比方法(1837)後，分析力學正式奠基建成，很快用到各學科領域．\\n\\n天體力學的奠基者 天體力學是在牛頓發表萬有引力定律(1687)時誕生的，很快成為天文學的主流．它的學科內容和基本理論是在18世紀後期建立的．主要奠基者為歐拉，A．C．克萊羅(Clairaut)、達朗貝爾、拉格朗日和拉普拉斯．最後由拉普拉斯集大成而正式建立經典天體力學．拉格朗日一生的研究工作中，約有一半同天體力學有關，但他主要是數學家，他要把力學作為數學分析的一個分支，而又把天體力學作為力學的一個分支對待．雖然如此，他在天體力學的奠基過程中，仍有重大曆史性貢獻．\\n\\n首先在建立天體運動方程上，拉格朗日用他在分析力學中的原理和(16)，(17)式，建立起各類天體的運動方程．其中特彆是根據他在微分方程解法的任意常數變異法，建立了以天體橢圓軌道根數為基本變量的運動方程，現在仍稱作拉格朗日行星運動方程，並在廣泛應用，此方程對攝動理論的建立和完善起了重大作用，方程在1780年獲巴黎科學院獎的論文\\\"彗星在行星作用下的攝動理論研究\\\"(Recherches sur la thé·rie des perturbati·ns queles c·mètes peuvent épr·uver par l'acti·n des planètes)［13］中給出，得到達朗貝爾和拉普拉斯的高度評價．另外在一篇有關三體問題的獲獎文章中［8］，把三體問題的運動方程組第一次降到七階．\\n\\n在天體運動方程解法中，拉格朗日的重大曆史性貢獻是發現三體問題運動方程的五個特解［8］，即拉格朗日平動解．其中兩個解是三體圍繞質量中心作橢圓運動過程中，永遠保持等邊三角形．他的這個理論結果在100多年後得到證實． 1907年2月22日，德國海德堡天文台發現了一顆小行星［後來命名為希臘神話中的大力士阿基裡斯(Achilles)，編號588］，它的位置正好與太陽和木星形成等邊三角形．到1970年前，已發現15顆這樣的小行星，都以希臘神話中特洛伊(Tr·y)戰爭中將帥們的名字命名．有9 顆位於木星軌道上前麵60°處的拉格朗日特解附近，名為希臘人(Greek)群；有6顆位於木星軌道上後麵60°處的解附近，名為脫羅央(Tr·jan)群．1970年以後又繼續發現40多顆小行星位於此兩群內，其中我國紫金山天文台發現四顆，但尚未命名．至於為什麼在特解附近仍有小行星，是因為這兩個特解是穩定的．1961年又在月球軌道前後發現與地月組成等邊三角形解處聚集的流星物質，是拉格朗日特解的又一證明．至今尚未找到肯定在三個拉格朗日共線群(三體共線情況)處附近的天體，因為這三個特解不穩定．另外，拉格朗日在一階攝動理論中也有重要貢獻，提出了計算長期攝動方法(《文集》Ⅴ，pp．125-414)，並與拉普拉斯一起提出了在一階攝動下的太陽係穩定性定理(參見《世界著名科學家傳記·天文學家Ⅰ》中\\\"拉普拉斯\\\"條)．此外，拉格朗日級數(8)式在攝動理論中有廣泛應用．\\n\\n在具體天體的運動研究中，拉格朗日也有大量重要貢獻，其中大部分是參加巴黎科學院征獎的課題．他的月球運動理論研究論文多次獲獎．1763年完成的\\\"月球天平動研究\\\"(Recherches sur laLibrati·n de la lune)［6］獲1764年度獎，此文較好地解釋了月球自轉和公轉的角速度差異，但對月球赤道和軌道麵的轉動規律解釋得不夠好．後來在1780年完成的論文解決得更好(參見《文集》Ⅴ，pp．5-123)．獲1772年度獎的就是著名的三體問題論文［8］，也是針對月球運動研究寫出的．獲1774年度獎的論文為\\\"關於月球運動的長期差\\\"(Sur l'equati·n séculaire de la lune)［9］，其中第一次討論了地球形狀和所有大行星對月球的攝動．關於行星和彗星運動的論文也有兩次獲獎．1776年度獲獎的是他在1775年完成的三篇論文［10，11，12，］其中討論了行星軌道交點和傾角的長期變化對彗星運動的影響．1780年度的獲獎論文就是提出著名的拉格朗日行星運動方程的那篇［13］．\\n\\n獲1766年度獎的論文是\\\"木星的衛星運動的偏差研究…\\\"(Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…)［7］，其中第一次討論了太陽引力對木星的四個衛星運動的影響，結果比達朗貝爾的更好．\\n\\n拉格朗日從事的天體力學課題還有很多，如在柏林時期的前半部分，還研究了用三個時刻的觀測資料計算彗星軌道的方法(《文集》Ⅳ，pp．439-532)，所得結果成為軌道計算的基礎．另外他還得到了一種力學模型--兩個不動中心問題的解，這是歐拉已討論過的，又稱為歐拉問題．是拉格朗日推廣到存在離心力的情況，故後來又稱為拉格朗日問題(《文集》Ⅱ，pp．67-121)．這些模型現在仍在應用．有人用作人造衛星運動的近似力學模型．此外，他在《分析力學》中給出的流體靜力學的結果，後來成為討論天體形狀理論的基礎．\\n\\n總的看來，拉格朗日在天體力學的五個奠基者中，所做的曆史性貢獻僅次於拉普拉斯．他創立的\\\"分析力學\\\"對以後天體力學的發展有深遠的影響．\\n\\n\"

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