費馬傳 第四章 費馬雜談

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\"content\": \"一 讀費馬大定理與朱熹平猜想\\n\\n在圖書館閱覽室碰見一位評論家，談到中國生態文學，應從賈平凹《廢都》的突破，創作七部長篇小說奠基；切入口選在《廢都》--《秦腔》的十三年積累。\\n\\n《科學與人文論壇》總編輯，邀我發表\\\"關於新自由主義時代科學與人文發展斷想\\\"---從文學的大視野，再到科學的大視野---這裡就是科學斷想的延伸。恰好從今年6月26日《光明日報》中找到\\\"朱熹平猜想\\\"。\\n\\n（一）從陳景潤的哥德巴赫猜想突破說起\\n\\n陳景潤的哥德巴赫猜想1 2的完成，40年無人超越。《費馬大定理（xn yn=zn）一個困惑了世間智者358年的謎》，說破解者懷爾斯在證明中，發現核心是證明一個稱為誌村--穀山猜想的想法，該猜想在兩個非常不同的數學領域之間建立了一座新的橋梁（類比、同構、對稱），而懷爾斯通過證明費馬大定理的過程，幾乎將二戰後一些最重要的數論凝聚在一起，從而擴展了數學王國的整個邊界。同樣，陳省身、丘成桐建立的幾何分析，經由漢密爾頓1982年，用20多年堅持創立新方程---瑞奇流這一破解龐加萊猜想的有效工具，開創了一種手術過程（1995年），將龐猜想推進到四維空間（縮小多維）。\\n\\n這好比陳景潤完成了1 2一樣。如果說，美國數學家瑟斯頓在20世紀80年代初得出了對龐加萊幾何結構猜想的部分證明（獲菲爾茲獎），那麼俄羅斯的佩雷爾曼（一直致力於微分幾何與代數拓撲研究）2003年則聲稱，他已完成了由瑟斯頓在25年前提出的有關三維流形的\\\"幾何化猜想\\\"的證明。這種由四維到三維的接近，可類比為由陳景潤1 2到1 1的過程。漢密爾頓實現了1 2，佩雷爾曼幾乎實現了1 1，然而龐加萊猜想是三維流形的\\\"幾何化猜想\\\"的一個特例，\\\"；雖然佩雷爾曼勾勒出龐加萊猜想的證明要領，但他的整個論證過程尚存不少漏洞，距離真正破解尚待時日（《光明日報》6月26日5版\\\"朱熹平猜想\\\"）。這樣，為龐加萊猜想\\\"封頂\\\"的最後衝刺的曆史重任，才落在中國數學家肩上。\\n\\n（二）兩個證明（龐加萊猜想與費馬大定理）的比較\\n\\n我們把華羅庚稱為中國數論學派創建人，陳景潤破解哥德巴赫猜想\\\"1 2\\\"，高度40年無人突破。哥氏猜想的證明未完成，不好用來與證明\\\"龐加萊猜想\\\"過程相比較。但費馬大定理也是個數論領域猜想，雖然懷爾斯完成對它的證明，但他是通過穀山---誌村猜想，纔將橢圓曲線和模形式統一起來的，並由此為數學提供了實現許多彆的證明的捷徑---一個領域中的問題，可以通過並行領域中的對應問題來解決。\\n\\n我就想問一下，數論與微分幾何（前者由華羅庚創立了中國學派，後者由陳、丘創立了中國學派）有無對應？\\\"龐加萊幾何結構猜想\\\"為什麼隻完成部分證明，[美]瑟斯頓卻可以獲得菲爾茲獎，而相當於瑟斯頓貢獻的穀山---誌村猜想，卻未得到應有的獎勵呢？下麵就可簡單對比一下龐加萊猜想與費馬大定理：\\n\\n漢密爾頓的瑞奇流理論（破解的臨界點）---羅伯特·朗蘭茲綱領，穀山---誌村--50年代就為懷爾斯的工作播撒了種子；\\n\\n佩雷爾曼，勾勒出龐加萊猜想的證明要領---[懷爾斯拒絕公開手稿，他認為，證明費馬大定理的人並不是投入心血最多的人，提交最終的完整的證明的人，纔算是證明費馬大定理的人（P229）]。在許多專業數學家看來，證明穀山---誌村猜想是比解決費馬大定理更為重要的成就（P216）---[在70年代，S·阿拉基洛夫（S.Arakelov）教授領導的一個俄羅斯數學家小組，試圖在微分幾何學中的問題與數論中的問題之間建立相對應的關係，這是朗蘭茲綱領的一個組成部分。他們的希望是，可以通過考察微分幾何學中相應的已被解答的問題，來解決數論中未解答的問題。這被稱為\\\"並行論哲學\\\"（P202）]。請看朱熹平、曹懷東---懷爾斯：\\n\\n①為了證明穀山---誌村猜想，數學家們必須證明：無限多個橢圓方程中的每一個可以和一個模形式相配對。先證明某一個橢圓方程的全部DNA（E-序列）可與一個模形式的全部DNA（M-序列）相配，再轉移橢圓方程之下一個。後改為每一個E-序列第一個基因，可以和每一個M-序列中的第一個基因配對，然後再讓E2與M2配對。這涉及對付無限性。然後他必須再證明：隻要第一個元素可配對，那麼第二、第三亦可配對---這樣就可證明任何一塊倒塌的多米諾骨牌總會推倒它後麵的一塊。（P200）\\n\\n②當懷爾斯認識到伽羅瓦的群的力量時，他就實現了第一步。整數和分數構成有無限多個元素的群---伽羅華持有\\\"少即多\\\"的哲學觀：他證明小的，精細構造群。不利用那些無限群，反過來從一個具體方程著手，用這個方程的為數不多的解來構造他的群。正是由五次方程的解構造的群，使伽羅瓦能推導出他關於這些方程的結果。一個半世紀後懷爾斯正利用了伽羅瓦的工作，作為他證明穀山-誌村猜想的基礎。（P198）\\n\\n③1986年夏末，一個朋友隨意告訴懷爾斯一個震動人心的訊息---肯·裡貝特已經證明瞭穀山---誌村猜想與費馬大定理之間的聯絡。\\\"我記得那個時刻，那個改變我的生命曆程的時刻，因為這意味著為了證明瞭費馬大定理，我必須做的一切就是證明穀山---誌村猜想\\\"（P176）。他的老師科茨卻認為，做這個證明會勞而無功。他自己雖然也認為，\\\"我必須承認我認為在我有生之年大概是不可能看到它被證明的\\\"，但他看到穀山---誌村猜想很多年過去一直冇有被解決，至少它屬於數學中的主流，可試一下並證明一些結果，即使未解決整個問題，也會是有價值的數學，不能認為是浪費自己的時間，這一決定就使\\\"吸引了我一生的費馬的傳奇故事現在和一個專業上有用的問題結合起來了。\\\"（P177）\\n\\n④如果說，解決龐加萊猜想貫穿了陳、丘二人創出有中國思維特色的微分幾何，來解決物理世界的大統一，完成數學與實踐應用的有機結合；那麼解決哥德巴赫猜想則貫穿了華羅庚、王元、潘（承洞）、陳景潤創出有中國思維特色的數論，在山東大學導向王小雲女子團隊破解全球兩大密碼演算法。二者的結合，表現為穀山---誌村猜想，懷爾斯正是把對橢圓方程及其E-序列具有深刻瞭解的數論家身份，和模形式的M-序列---研究形狀和形式的幾何學家身份，統一起來了，纔有可能證明穀山-誌村猜想。（P166）\\n\\n（三）怎樣看穀山---誌村猜想,內涵是東方類比思維\\n\\n1、西方大家的認識過程\\n\\n首先是哈佛大學的巴裡·梅休爾（Barry Mazur）教授目睹了穀山--誌村猜想的產生：\\n\\n\\\"這是一個神奇的猜想---推測每個橢圓方程相伴著一個模形式---但是一開始它就被忽視了，因為它太超前於它的時代。當它第一次被提出時，它冇有被著手處理，因為它太使人震驚。一方麵是橢圓世界，另一方麵是模世界，這兩個數學分支都已被集中地但單獨地研究過。研究橢圓方程的數學家可能並不精通模世界中的知識，反過來也是這樣。於是，穀山---誌村猜想出現了，這個重大的推測說，在這兩個完全不同的世界之間存在著一座橋。數學家們喜歡建造橋梁。\\\"（P166）\\n\\n幾何學家占據孤島，研究形狀和形式。\\n\\n概率論孤島的數學家討論風險和機遇。\\n\\n幾何學語言與概率論語言有很大差異，而微積分中的行話對隻講統計學語言的人是冇有意義的。穀山---誌村猜想的巨大潛力則是溝通兩孤島，使它們第一次能彼此對話。\\n\\n這個猜想的特性，就是模世界中簡單的直觀能轉變成橢圓世界中非常難解的深刻的真理。當將它又轉變成模世界問題時，已有辦法和工具來處理這個經過變換的問題，從而使原問題得以解決== 在不同數學學科間可能存在著連接的鏈環。\\n\\n其次是普林斯頓高等研究院的羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands），上世紀60年代被穀山猜想所具潛力吸引，認為它隻不過是一個更為宏偉得多的統一化計劃中的一個環節。他開始尋找這些統一的環節鏈，它們的湧現更為不確定，但形成了由存在於許多數學領域之間的假設性聯絡，組成的一張錯綜複雜的網絡。\\n\\n猜想被證明，最終形成一個宏偉的統一的數學。朗蘭茲綱領，使數學家能解決最深奧最難對付的問題（學會轉換就有新武器對付），辦法是領著這些問題周遊數學王國各風景勝地。到上世紀70年代，朗綱領已成為數學的未來的一份藍圖，但通向問題解答者天堂路被阻擋；穀山---誌村猜想的證明是實現綱領第一步，它成了數論中最有價值猜想之一。\\n\\n第三，1984年秋在德國，數學家聚集討論。來自薩爾布呂肯的格哈德·弗賴（Gerhard Frey）提出論斷：即如果有人能證明穀山---誌村猜想，就立即能證明費馬大定理。\\n\\n費馬方程：XXX..... YYY......=ZZZ.....；這裡.....n個相同數的n大於2。弗賴使這個假設解的費馬方程變成為：YY=XXX (AN-BN)XX-ANBN；他指出，這個新方程事實上是一個橢圓方程：YY=XXX AXX C。\\n\\n通過將費馬方程變為橢圓方程，弗賴將費馬大定理和穀山---誌村猜想聯絡了起來。\\n\\n經過推理，弗賴最終得到了戲劇性的結論：費馬大定理的真實性將是穀山---誌村猜想經證明之後的直接結果。弗賴斷言，如果數學家能證明穀山---誌村猜想，那麼他們將自動地證明瞭費馬大定理。證明穀山---誌村猜想是證明費馬大定理的唯一障礙。弗賴見解深刻，但邏輯中有一個初級錯誤---誰首先糾正，誰就贏得將費馬和穀山---誌村猜想聯絡起來的榮譽。\\n\\n經過幾個月，發現弗賴的錯誤並不初級。要證明弗賴假設的橢圓方程不能模形式化，也難住了全世界的數學家們---刻畫弗賴的橢圓方程，發現一個適當的不變量，不管做何變換，亦不能變換成一個模形式。\\n\\n第四，加利福尼亞大學伯克利分校的教授肯·裡貝特，1986年夏，巧遇其同事巴裡·梅休爾教授訪問伯克利並出席國際數學家大會，當裡貝特開始解釋他一直在探索的試驗性策略，似乎有點前途。梅休爾突然停止了啜飲，說：\\\"難道你還不明白！你已經完成了它！你還需要做的一切隻是加上一些M-結構的Y-O，然後再做一遍你的論證，這就行了。它會給你所需要的一切。\\\"（P173）\\n\\n裡貝特\\\"從未想到過新增額外的M-結構的Y-O\\\"（P173）；雖然加上M-結構的Y-O對於肯·裡貝特聽起來很簡單，但它是邏輯上深奧一步。他高興回到住所在筆記本上飛速寫了兩個小時，確信自己已掌握關鍵步驟，對著國際數學家大會成千數學家，隨便對幾個人提到他已證明穀山---誌村猜想隱含費馬大定理。肯·裡貝特在弗賴啟示下，把它帶到重要舞台，使一個在曆史上和感情上極為重要的問題與一個可能引起現代數學革命的猜想聯結在一起。30年來，數學家一直試圖證明穀山---誌村猜想，但都失敗了。甚至已作出突破性工作的肯·裡貝特也悲觀了，感歎\\\"絕大多數人相信穀山---誌村猜想，完全無法接近。\\\"（P175）\\n\\n隻有懷爾斯敢大膽夢想，認為可以證明。\\n\\n2、E-序列濃縮著關於它描述的那個橢圓方程的許多資訊。如同生物中的DNA（脫氧核糖核酸）攜帶著構造生命組織所需的全部資訊一樣，E-序列攜帶著橢圓方程的本質要素。數學家們希望通過研究E-序列這個數學的DNA，最終能夠算出他們曾想要知道的有關橢圓方程的一切東西（P150）。穀山他倆在研究一個特彆陳舊但二人卻非常著迷的論題是模形式的研究。而模形式（modular forms）是數學中最古怪的神奇的一部分。是數學中最深奧的內容之一。關鍵特點是具有非同尋常的對稱性（對象按特定方式變換後看上去卻冇改變）。模形式使人感興趣的性質是它們呈現出無限的對稱性（按無限多方式作平移、交換、反射的旋轉仍保持不變）。龐加萊認識到模形式確實極端對稱。模形式處於複空間的上半平麵，是一個四維空間（\\\"雙曲空間\\\"）。\\n\\n模形式的要素可以無窮編號，它如何構造資訊可概括為模序列。正像E-序列是橢圓方程的DNA一樣，M-序列是模形式的DNA（前者可追至古希臘，與對稱性無關，後者在19世紀剛被髮現，因對稱性而被研究）。穀山和誌村，要讓數學界想到橢圓方程和模形式實質上是完全相同東西。因為他倆能將模世界與橢圓世界統一起來（P159）。誌村需要找到存在於模世界和橢圓世界內部聯絡的證據。\\n\\n（四）民間昇華與專家肯定\\n\\n穀山---誌村猜想隱含費馬大定理給我們的啟示是，穀山代表了東方思維，這一突破恰在上世紀50年代，為哥德巴赫猜想和龐加萊猜想（數論、微分幾何）搭接了一座橋；隨著穀山---誌村猜想的證明，費馬大定理自然破解，如果將之擴大到廣義相對論（幾何化）和量子力學，就可建造數學上更大更新的橋。弦論靠\\\"龐加萊猜想\\\"的證明；規範場靠\\\"楊---米爾斯理論\\\"證明，靠纖維叢的數學工具；丁肇中回山東尋求數學上的突破--我稱之為物理理論在中國的三次迴歸。\\n\\n但核心在於把不同的兩個數學領域統一起來---把對稱與非對稱統一起來；把物質能量（實）與資訊（虛）統一起來，找到一個類似穀山---誌村猜想似的工具，這個工具的創造者，應有超越西方主流思路的特性，應該在擁有中國思維的民間找到，並且得到昇華。\\n\\n這也許是球量子與環量子的關係。分界（麵）是變動的點內空間。哲學上則是結構資訊與交換資訊帶來的資訊增殖過程。怎樣找到它們的相似？穀山的思維模式實質---1955年9月（陳景潤證明1 2的十年前），年青的***研究人員向一個國際學術討論會聯手提供一份報告，有36個未解決的問題，其中有4個問題是穀山提出的：\\n\\n①這些問題提示了模形式與橢圓方程之間的某種奇怪的關係。這些有益的問題的解決，最終將導致數論的一場革命。\\n\\n②穀山的直覺，當他看到一個具體的模形式的M-序列中開頭n次，他就能認出這種結構方式，並意識到它與一個熟知的橢圓方程的E-序列中列出的數是完全相同的。他計算了這兩個序列中更多的項，結果模形式的M-序列和E-序列（橢圓方程的）完全一致。\\n\\n③一個驚人的發現---兩個序列完全相同，形成這兩個對象的數學DNA是完全相同的。首先，模形式與橢圓方程在深層次上有一種基本的聯絡；第二，隻要知道模形式的M-序列，就不必計算對應的橢圓方程的E-序列，就像是知道DNA，也就知道了RNA=數學上的雙螺旋結構（1953年4月）（P160）。\\n\\n\\\"用數學的術語來說，這個最終的證明可與分裂原子或發現DNA的結構相比\\\"（科茨）。\\n\\n④資訊增殖的奧秘之門：表麵上完全不同的研究方向之間存在的聯絡，對於創造新的成果至關重要。這一點在數學中與在彆的學科中是一樣的，這種聯絡暗示著存在某種深藏的使這兩個方向都更為增色的真理。（P160-161）。\\n\\n⑤開始思索是否每一個模形式，都可能有一個橢圓方程與之相配---兩者間的更一般和普遍的關係（先是穀山仔細研究幾個不同的模形式）。在每一種情形中，M-序列似乎完美地對應著某個橢圓方程的E-序列（提出假設---每一個模形式都有相配的方程），或者每個模形式與某種橢圓方程有著相同的DNA；或者每個模形式隻不過是偽裝了的某個橢圓方程？有人宣稱；穀山證明瞭幾個相關，不過是偶然的巧合（P161）。\\n\\n⑥誌村本想找到更多證據來支援存在於模世界和橢圓世界之間的這種聯絡，可惜他應邀到普林斯頓高等研究院工作，穀山在此期間的1958年11月17日自殺身亡。他剛滿31歲，在筆記3頁紙上寫下\\\"我陷入了對我的未來失去信心的心境之中\\\"（P163）。如果說提出問題比解決問題更重要，穀山對數學是貢獻了許多根本性的想法，他提出的問題包含深邃的洞察力，但太超前於它的時代；他是同事們（包括誌村）精神上的支柱，然而，他在絕望中需要支援的時候，卻冇有人能給他以任何支援---逐漸地誌村積累的證據，使他的關於橢圓方程和模形式的理論越來越廣泛地被人們所承認（P164-165）。\\n\\n⑦20世紀數論方麵的領袖人物安德烈·韋依（Andre Weil）及時采納了這個猜想，並使它在西方得到了公認。在60年代後期，眾多的數學家反覆地檢驗穀山---誌村猜想；他們從一個橢圓方程和它的E-序列出發，去尋找有完全相同的M-序列的模形式。在每一種情形中，橢圓方程確實有一個相關的模形式。\\n\\n雖然這是對穀山---誌村猜想非常有利的證據，但它決不能算是一種證明。數學家們猜測它是對的，但在有人能發現一個邏輯證明之前，它仍然隻是一個猜想。\\n\\n（五）怎麼看從1955年到2005年這個跨世紀的三次數學突破---轉入應用，轉入民間團隊\\n\\n從1955年9月穀山提出4個問題到2005年9月朱熹平應哈佛數學係主任陶貝斯邀請到該校作半年的演講，是東方思維逐步被西方接受以至達到互補的五十年。這一過程分三步：\\n\\n第一步 從穀山提出類比設想，到懷爾斯應用於證明費馬大定理；\\n\\n第二步 從華羅庚、王元、潘承洞、陳景潤的數論新理念，到山東大學王小雲團隊應用於密碼破譯，超越於西方思維模式而震驚於世；\\n\\n第三步 從陳、丘創立幾何分析（直觀整體思維），由漢密爾頓的四維空間開創，經佩雷爾曼三維流形特例，到朱、曹基本破解龐加萊猜想，給出了幾何化猜想的第一個完整與詳細的描述。\\n\\n通過2006年超弦國際會議將數學大突破應用於物理大統一，這是穀山---誌村猜想（兩個序列---模形式的M-序列與橢圓方程的E-序列間的類比）的重演與放大。內中包含著數論與幾何分析兩大數學對象的深層類似，將引向21世紀對稱的物理世界與非對稱存在物世界的深層類似。\\n\\n穀山的兩個序列類比思想是一個可能引起現代數學革命的猜想（這是東方思維產物），懷爾斯的應用就在於用這一猜想來解決17世紀的最重要的問題（3個半世紀以來，費馬大定理一直是孤立的問題，一個在數學的邊緣上使人好奇的、無法解答的謎）。現在懷爾斯把兩者結合起來，隻要能證明每一個橢圓方程是模形式，那麼這就隱含費馬大方程無解，這就等於立即證明瞭費馬大定理。從1986年夏末起，懷爾斯決心花費十年的專心致誌的努力：\\n\\n①前麵已提到，他與無窮決鬥的過程（2年時間）。形象直覺上：將無限多個情形，想象成排成一行的無限多塊多米諾骨牌。歸納法證明會產生多米諾效應演繹：構造一個歸納性的論證，來證明無窮多個橢圓方程中的每一個都能和無窮多個模形式中的每一個相配對---隻要證明瞭第一個情形，其他也會倒塌。再找西方數學先例：他發現他的歸納法證明中的第一步，隱藏於19世紀法國的伽羅瓦尋找五次方程解的工作中（作了完整透徹的敘述P196）。當懷爾斯認識到伽羅瓦的群的力量時，他實現了第一步（每一個橢圓方程的一小部分解可以用來構成一個群）。多虧伽羅瓦，懷爾斯已經能推倒第一塊多米諾骨牌。他的歸納法證明的下一步，要求他找到一個方法來證明：如果E-序列的任一個元素和該M-序列的對應元素配對，那麼下一個元素必定也可以配對（P200）。\\n\\n②經過3年不間斷的努力，懷爾斯作出了一係列突破性工作。首先，他將伽羅瓦群應用於橢圓方程，再將橢圓方程拆解成無限多個項，然後他證明瞭每一個橢圓方程的第一項，必定是模形式的第一項。於是，他就推倒了第一塊多米諾骨牌，然後他就再鑽研可能會引起所有的多米諾骨牌倒塌的技術。\\n\\n③1990年，懷爾斯發現自己正處在似乎是所有房間中最黑暗的一間中（探索了差不多2年之久）。他仍然無法證明如果橢圓方程的一項是模形式的項，那麼下一項也應如此---為此他將公開發表的文獻中的各種方法和技術都嘗試過後，可都不足以解決問題==心中苦悶彷徨：若在中國體製下，主流數學家就過不去了，民間科學狂熱者就能繼續或換一個生存方式再作探索，特彆是不顧意識形態的乾擾。懷爾斯正是從苦悶中奮起，他說：\\\"我真的相信我的思路是正確的，但這並不意味著我一定能達到我的目的。很可能解決這個特殊問題所需的方法是現代數學無法實現的，或許我為完成這個證明所需要的方法再過100年也不會被髮現，因此，即使我的思路是正確的，我卻生活在一個錯誤的世紀中\\\"（P205）。\\n\\n④又堅持了一個年頭，失敗後改道，先想修改岩澤理論（lwasawa theory）作為分析橢圓方程的一種方法，使其變得足夠有力，而能產生多米諾骨牌效應。到1991年夏，改進工作已經失敗。在普林斯頓當隱士5年之後，北上波士頓出席一個關於橢圓方程的重要會議。科茨---他老師向他提及自己學生弗萊切正寫一篇分析橢圓方程的論文，用的是科利瓦金設計的方法，恰恰是為懷爾斯的問題定做的。於是懷爾斯夜以繼日地專心致誌於擴展科利瓦金---弗萊切方法。理論上，這個新方法可以將懷爾斯的論證從橢圓方程的第一項擴展到橢圓方程的所有各項，並且有可能它對每一個橢圓方程都有效。不久，對一種特殊的橢圓方程，他已經使歸納證明奏效。然而不幸的是，科利瓦金---弗萊切方法不一定對彆的橢圓方程行得通。任務是改造它，使其所有橢圓方程的每一族都能奏效。\\n\\n⑤經過6年的艱苦努力（大約1993年1月），一方麵，懷爾斯開始認識到他的整個證明依靠的是利用他幾個月前剛發現的技術；另一方麵，他又開始質疑：自己是否正在以完全嚴格的方法使用科利瓦金--弗萊切方法？\\n\\n為此，他有必要找一個幾何方法方麵的專家（科---弗方法有很艱深的代數和許多新的數學）吐露秘密（要求他保守秘密）。這個人就是凱茲。要凱茲幫助覈對，凱茲建議以正式的每週定時的講座方式來進行：用又一門的研究生課程，將覈對證明這件事偽裝起來；當名為\\\"橢圓曲線的計算\\\"講座的聽眾席上，研究生一個接一個逐漸消失之後，凱茲是留下的僅有的一個。\\n\\n評價是科---弗方法是完全可行的。冇有人懷疑懷爾斯正處於摘取數學中最重要的獎的邊緣。\\n\\n⑥1993年5月，他確信自己已掌握了整個費馬大定理。5月末，隨意地看一下巴裡·梅休爾的一篇論文，他說：早晨，我注意，它提到一個19世紀的構造---我突然意識到，我應該能夠使用這個結構來使科利瓦金---弗萊切方法也適用於這一最後的一族橢圓方程。下午三、四點，我真正地確信這將解決最後剩下的問題；飲茶休息時，我下樓告訴內達：我已經解決了費馬大定理。\\n\\n⑦世紀演講。安德魯·懷爾斯1953年出生在英國劍橋，父親是一位工程學教授。少年時代的懷爾斯已著迷於數學了。7年專心，經曆30年夢想，完成了穀山---誌村猜想的證明，也就證明瞭費馬大定理，該向全世界公佈了，懷爾斯回憶：\\\"我仍然需要再覈對一下證明，但是6月末在劍橋有一個會議要舉行，我想這也許是宣佈這個證明的好地方---它是我古老的家鄉，我曾經是那裡的一個研究生。\\\"演講前兩個半星期把證明交給的第一個人是梅休爾，他似乎楞住了。肯·裡貝特也來了，正是他1986年的工作鼓舞懷爾斯經受了7年嚴峻考驗。數論方麵最傑出人物一個接一個來到牛頓研究所，傳聞懷爾斯證明瞭費馬大，安德魯·懷爾斯總是搖搖頭，緊閉雙唇。懷爾斯的係列演講標題為：\\\"模形式、橢圓曲線和伽羅瓦表示\\\"。1993年6月21、22日，講的第一次、第二次，都是鋪墊。到了\\\"6月23日，懷爾斯開始了他的第三次也是最後一次的演講。\\n\\n值得注意的是，約翰·科茨回憶道：\\\"每一個對促成這個證明的那些思想作出過貢獻的人，實際上都在現場的房間裡，包括梅休爾、裡貝特、科利瓦金以及許許多多彆的人。\\\"經過7年的努力，懷爾斯準備向世界宣佈他的證明瞭。\\\"我從未見過如此輝煌的演講，充滿瞭如此奇妙的思想，具有如此戲劇性的緊張，準備得如此之好。\\\"---巴裡·梅休爾對演講感到驚訝。\\n\\n⑧1993年9月，手稿交到《數學發明》雜誌梅休爾手中後，200頁證明被分成6章。其中第3章由凱茲負責審查（有70頁長），這裡的證明是特大型論證，由數以百計的數學計算通過數以千計的邏輯鏈環錯綜複雜地構造而成。隻要有一個計算出錯或一個鏈環冇銜接好，那麼整個證明將極有可能失去了其價值。在凱茲執著態度下，懷爾斯開始認識到是出現了一個重大缺陷---是在與科利瓦金---弗萊切方法有關的論證的關鍵部分中的一個錯誤。這個錯誤很抽象，無法用簡單術語描述。\\n\\n問題的實質是：原始的科利瓦全---弗萊切方法隻在有特殊限製的情形下有效，但懷爾斯相信他已經將它改造並加強到是以適合於他的所有需要。也就是說，他原本期望能將證明從所有的橢圓方程和模形式的第一項擴展到包括所有的項，這樣就提供了將多米諾骨牌一塊接一塊推倒的方法，而現在行不通了；在凱茲看來，情況並不一定如此，無法像懷爾斯原來設想的那樣保證科利瓦金--弗萊切方法行得通。其後果是戲劇性的，有很大的破壞性。數學的絕對主義要求懷爾斯無可懷疑地證明他的方法對每一個Ｅ-序列和Ｍ-序列的每一項都行得通。懷爾斯以為對此法隻需一點調整，小規模修改就會很好地起作用，結果是隨著時間推移問題似乎變得越來越棘手。\\n\\n對凱茲來說，\\\"我的態度是作為審稿人我應該保守秘密。但是當秋季來臨時稿件仍然還未通過，於是關於證明有問題的議論開始流傳。\\\"另一個審稿人肯·裡貝特也開始感到保守秘密帶來的壓力。懷爾斯和審稿人否認證明有缺陷，或拒絕評議，使外界猜測變得放肆起來。懷爾斯在牛頓研究所演講後不到6個月，他的證明已破綻百出。隻好發電子郵件，承認在檢驗過程中大部分已解決，但有一個特彆問題還冇解決---（大部分場合下）將穀山---誌村猜想歸結到計算塞爾默群這一關鍵性的做法是正確的；然而，在（相伴於模形式的對稱平方表示的）半穩定的情況中，塞爾默群的精確上界的最後計算還冇有像所說的那樣是完全的。其實錯誤出現在其中一篇，即第3章中，但是即使你去掉第3章，剩下的部分仍然是絕對優秀的。可是冇有第3章就冇有穀山---誌村猜想的證明，因而也就冇有對費馬大定理的證明。有些數學家聲稱，這個證明太有價值了，因此不應該隻儲存在一個人的手中。不顧外界的壓力，懷爾斯拒絕公開手稿。\\n\\n⑨最後14個月（從1993年8月23日演講後送稿，凱茲發電子郵件質疑，到1994年10月25生日）是懷爾斯數學生涯中充滿痛苦、羞辱的和沮喪的一段時光---一個高明的見解使他苦難走到儘頭。先是懷爾斯向彼德·薩納克承認情況已麵臨絕境，準備承認失敗；後是薩納克暗示困難來自缺少可以依賴進行日常討論的人---決定邀請懷爾斯學生泰勒到普林斯頓。\\n\\n1994年1月，在泰勒幫助下再次使用科---弗方法，經曆更為深入探索而一再失敗，到了迷宮中心冇有出口。整個夏季二人冇取得進展，懷爾斯又準備承認失敗；泰勒已經計劃好在普林斯頓過完9月回劍橋，他不顧懷爾斯泄氣，建議他們再堅持一個月，如果還冇有能修改好的跡象，再說放棄---公開承認他們的失敗併發表那個有缺陷的證明，使其他人有機會研究它。\\n\\n當泰勒重新探索和檢驗一些替換的方法時，懷爾斯決定在9月份最後一次檢視一下科---弗方法的結構，試圖確切地判斷出它不能奏效的原因。他生動地回憶決定性的日子：\\\"9月19日，一個星期一的早晨，當時我坐在桌子旁，檢查著科---弗的方法……突然間，完全出乎意料，我有了一個難以置信的發現。我意識到，雖然科---弗方法現在不能完全行得通，但是我隻需要它就可以使我原先采用的岩澤理論奏效。我認識到科利瓦金---弗萊切方法中，有足夠的東西使我原先的3年前的工作中對這個問題的處理方法取得成功。\\\"所以對這個問題的正確答案似乎在科---弗廢墟中。單靠岩澤理論不足以解決問題，單靠科---弗方法也不足以解決問題，它們結合在一起卻可以完美地互相補足。這是懷爾斯永遠不會忘記的充滿靈感的瞬間。\\\"它真是無法形容的美；它又是多麼簡單和明確。我無法理解我怎麼會冇有發現它，足足有20多分鐘我呆望著它不敢相信。\\\"\\n\\n（六）楊振寧規範場的迴歸是尋求中國人的數學突破嗎？\\n\\n楊振寧1954年創立的楊--米爾斯理論，本來企求陳省身的纖維叢這一多年的互補，嚮往冇有能實現。回顧當年他的對稱性理論，卻在李政道的非對稱互補中實現了宇稱不守恒定律的發現（1956年），而登上了諾貝爾物理獎頂峰。李政道說得好：\\\"現在大家可以相信科學和藝術是不能分割的。她們的關係是智慧和情感的二元性密切關聯的。偉大藝術的美學鑒賞和偉大科學觀唸的理解，都需要智慧。但是，隨後的感受昇華和情感又是分不開的。冇有情感的因素，我們的智慧能夠開創新的道路嗎？冇有智慧，情感能夠達到完美的成果嗎？它們很可能是確實不可分的。如果是這樣，藝術和科學事實上是一個硬幣的兩麵。它們源於人類活動最高尚的部分，都追求著深刻性、普遍性、永恒和富有意義。\\\"\\n\\n網上有一則報道說：楊振寧的規範場最早傳入中國後，是由於北京大學物理係教授（中國物理學學霸）胡寧的反對，規範場在中國的發展完全受到了阻礙。整箇中國科學研究北強南弱，北方在胡寧反對下冇有進行規範理論的研究。（規範理論在中國的傳播，首推華東師大的胡瑤光，最早的規範理論推廣工作就是他做的，中國第一本規範理論的著作也是他寫的，再後來是浙大的汪容。）對此，網上憤慨的話語帶上了感情：\\\"要是冇那幾個著名學霸的作用，規範理論在中國至少要早發展10年，1978年首屆中國規範理論會議也不會跑到廣州去開了。\\\"但作者不知規範場理論作為民間組合難以與層子模型的國家組合相抗衡。再從規範場理論本身發展來看，實踐中是三條發展路線，第一條是物理理論自身的發展---即弱電統一的發展道路。\\n\\n楊振寧1954年（比穀山---誌村猜想早一年）和米爾斯發表了劃時代經典論文：\\\"同位旋守恒和廣義的規範不變\\\"、\\\"同位旋守恒和同位規範不變\\\"。楊振寧作為現代規範場理論---非阿貝爾規範理論的創始人和奠基者，與米爾斯聯手，可謂楊---米猜想；但穀山---誌村猜想花了三十年（1955-1986）才被全球確認，而楊---米猜想---非阿貝爾規範場的重要性，在此後20年裡並不為世界物理學界所廣泛的認識，直到上世紀七十年代由楊振寧帶回國內，又遇到文化大革命，支援他的周總理兩年後仙逝，規範場熄火。楊本人到1977年才知是張春橋作了乾擾。\\n\\n但物理理論自身經由1962年Glashow提出的定域Su（2）Su（1）規範理論[附錄1]，到1968年A.Salam和1967年S.Weinberg各自引入的弱作用和電磁相互作用統一的模型---這一模型建立在非阿貝爾自發破缺帶Higgs機製的規範場理論的基礎上[附錄2]。對比\\\"費馬大定理證明過程\\\"，下麵將過程先概略化：\\n\\n就懷爾斯來說，總結綜合三個突破口：穀山---誌村猜想把證明費馬大定理的主題突出轉移了；伽羅瓦5次方程解決了無限論證；科---弗方法與岩澤理論結合，解決了多米諾骨牌普遍適用問題。這還隻是一個解決問題的過程。在這之前，比他更重要的是提出問題，那是穀山---誌村猜想的產生，及這一猜想如何被公認，由東方而西方，這個過程很長。最後懷爾斯的14個月苦悶，這個審查過程，專家都是懷爾斯的導師的朋友，也是懷爾斯的支援者，他們各自完成了一個自我價值實現過程。\\n\\n針對上述過程，這就是超弦、圈量子引力論、全息理論的大綜合。如果楊---米爾斯理論、宇稱不守恒，CTP全域性對稱，是東方思想，易被突破；那麼霍金黑洞理論、相對論和量子力學的統一，是西方思維模式，缺少的是數學模型的內在機製。總之，物理學的三大迴歸，內含回到數學（經濟），回到中國（思維），是有它的奧妙之處。楊---米理論處在穀山---誌村猜想階段，而規範場研究導致了三個諾貝爾物理學獎：格拉肖、薩拉姆、溫伯格三人獲得1979年諾貝爾物理學獎；G'thooft, M.veltman獲得1999年諾貝爾物理學獎；帶電的中性重介子（W ，Z）的實驗發現，使W.C.Rubbia和S.VanderMeer獲得1984年諾貝爾物理學獎。\\n\\n然而這三個諾獎就像伽羅瓦的5次方程一樣，不能使懷爾斯破解費馬方程，同樣弱電統一也並不能證明規範場適用所有相互作用。人們希望規範場理論也像牛頓的經典力學規律，麥克斯韋的電磁理論，愛因斯坦的相對論，普朗克、玻爾的量子論，海森伯、薛定諤、狄拉克的量子力學一樣，奠定物理世界的基本規律。人們看到，既然已知弱作用電磁作用統一於規範理論框架，那麼，強相互作用也已經可望納入這一框架，為什麼不相信重力相互作用也極為可能納入這一框架呢？\\n\\n如果規範場理論果真把現在所知自然界四種基本相互作用都納入這一個框架之內，那麼大至宇宙小至微觀基本粒子的萬象，不就皆源於規範理論的規律了嗎？楊振寧在上世紀70年代恰處於懷爾斯的科---弗方法與岩澤理論的選擇階段，他想回國來，既能推進第二條路的第二個方向，又可為祖國培養出基礎科學的團隊力量；此時正值大學者的壯年，正好大展宏圖。但社會大環境又使他不勝尷尬。 楊振寧選擇的新方向新道路，可稱之為規範場理論的數學基礎和整體表述之路。\\n\\n1、首先，在規範場的數學基礎（古典微分幾何和纖維叢理論）方麵，組合如下力量：\\n\\n①在美國，一方麵請教纖維叢理論的創業大師陳省身，另一方麵還邀請當時石溪SU-NY纖維叢專家Simons，以午餐討論會形式專門講演纖維叢理論。\\n\\n②在國內，有複旦大學穀超豪繼承蘇步青從事古典微分幾何的研究，是最合適人選。穀發展了楊---米爾斯場的位相因子方法，研究了閉環路位相因子的作用。\\n\\n③與國際研究平行發展的國內力量（規範場的數學方麵研究），早在楊振寧回國（1971年）前，陸啟鏗就開展了有關纖維叢和規範場關係的研究。陸從何樂群的角度把規範場的微分定義聯絡了起來，並得到規範場量與纖維叢的幾何量之間的對應關係。陸還求出了非阿貝爾規範場中磁單級的嚴格解。1972年，陸啟鏗曾在中科院物理研究所和數學研究所內，係統地報告過纖維叢理論和規範場形式理論的關係和他的研究成果。1974年發表了論文\\\"規範場與纖維叢上的聯絡\\\"。\\n\\n④另在理論物理方麵，1972年楊振寧在北大報告後，郭漢英等人變批判相對論為理論物理研究---一種以洛倫茲群為規範群的引力規範理論，這是第一個撓率場作為動力學場的引力規範理論。戴元本、吳詠時開展了規範場在粒子理論的應用，計算了高階微擾QCD。--這都是當時國際前沿領先工作。然而到1974年底，研究小組被指責為\\\"斐多菲俱樂部\\\"被迫\\\"停產整頓\\\"。\\n\\n2、其次，在國內也開展了規範場整體表述的研究。組合力量佈滿全國。非阿貝爾規範理論的另一方向，就是在物理學中引用了一族全新的數學和物理的結合。楊振寧為推動這一方向，與20年前相對應，1974年寫成另一篇經典型論文：\\\"規範場的積分形式\\\"，1975年又寫成和吳大峻合作的一篇論文：\\\"不可積相位因子的概念和規範場的整體性表述\\\"，兩篇宏文，可謂是這一方向的開拓性的結合。如果說物理史上，每個時期發現的自然界基礎性的物理規律，總有相伴相應的數學結構---與相對論相伴的是微分幾何、黎曼幾何，那麼非阿貝爾定域規範場理論，則是開拓了物理學和纖維叢數學的結合。這就把規範場理論置於嚴格的數學基礎上。規範場理論是數學纖維叢理論的物理學的體現（應用），由此把物理學緊密地與拓撲學結合。為此，全國在楊振寧帶來的規範場研究資訊影響下（1972年7月周總理指示周培源探求如何實施中國基礎科學研究），北京、廣州、上海、西安、蘭州各地都開展了規範場研究：\\n\\n在廣州，中山大學李華鐘、郭碩鴻和中科院高能所冼鼎昌參與下，開展了規範場整體表述的研究。這是在上述楊振寧1974年的論文啟發下，結合到當時tHooft關於非阿貝爾磁單極的研究而開展的研究工作。他們發展了冇有纖維叢語言的實質上的纖維叢的一個物理模型的磁單極理論。在一係列論文中係統研究了規範場真實的整體（拓撲）性質。在這些研究過程中，中科院吳詠時也參加了合作。這些工作獨立於國際，有些成果與國外並行，有些要早。\\n\\n同時，蘭州大學段一士、葛墨林和西安西北大學合作完成了Higgs場的拓撲性質和規範場的拓撲學微分幾何的分析。這些工作也獨立於國外，近乎同時發表，國際前沿領先。\\n\\n其後四川大學王佩和內蒙古大學候伯文，也參加了西北大學的研究工作；中科院高能所杠東生參與了楊振寧、吳大峻的磁單極研究。上述工作都是從1973年開始，1978年在廣州開了全國第一次規範場理論研討會。\\n\\n3、第三、總結。中國科學院和教育部1980年1月在廣州市效化縣舉辦了國際***粒子理論物理研討會，是文革後第一次大規模的物理學科國際會議。由朱洪元和李華鐘分彆作題為\\\"關於層子模型的回顧\\\"和\\\"近年來中國關於經典規範場理論的研究\\\"的報告。在這次研討會上，有關規範場理論的報告還有剛從其他領域回到理論物理研究的周光召和中國科技大學阮圖南關於陪集（coset）規範場的研究；中科大趙保恒和閻沐霖關於非阿貝爾規範場正則量子化的研究；穀超豪、胡和生關於球對稱規範場的研究，李華鐘、郭碩鴻關於瞬子集團的研究等十多篇論文。可見，規範場理論的研究在國內當時是相當普遍的。\\n\\n總起來說，與國際上第一條從物理理論自身發展相比較，國內重在規範場的數學方麵研究，這些工作無疑是在楊振寧直接影響下，在國際上獨立發展的。在理論物理方麵，主要的工作除了北京之外，卻是在廣州和西安、蘭州開始。由於楊振寧走第二條路，即抓規範場理論的數學基礎和整體表述---而磁單極便是物理整體表述的最簡單而又最先顯示整體描述必不可少的理論實驗室，我們就可進而推論兩點：楊振寧開端的這一方向，與李政道有所不同，李政道重視解決諸如質量起源、電荷本質引導的超弦、圈量子引力論、全息理論大綜合的研究與類似正負電子對撞機的實驗，跟蹤上了21世紀國際理論物理類似超弦的主流，反之卻成為國內時隱時現對抗超弦主流的阻力；楊振寧是否類似上世紀2、30年代後的愛因斯坦？時間自會有評說，我們可說的是，他的規範場、纖維叢，本可為環量子自旋與球量子之爭助力，卻帶領一批名家類似一頭鑽進球量子的家園。\\n\\n一是，這也與纖維叢理論的創業大師陳省身的親傳弟子丘成桐不同。據丘大師評說，楊---米爾斯理論較難突破，才選擇龐加萊猜想。這樣一來，從整個戰略力量上看，纖維叢理論就是必然延期嗎？依靠數學前進的規範場理論就必然擱淺嗎？對七個世紀數學難題的選擇是否就影響了纖維叢理論的突破？難道規範場、纖維叢的前進方向，就隻有類似球量子開端的一條道，冇有環量子自旋開端的那條道？\\n\\n二是，因為在楊振寧第二條路上又出現了理論物理的第二個方向問題：就物理學本身的基礎而言，對物理學係統的微分描述之外，還需要整體的描述。整體的描述最簡單的係統就是磁單極。這個物理基礎理論問題，自1931年P.A.M Dirac提出開始，1959年D.Bohm.Y.Aharonov預言的效應，是一個裡程碑，是主導物理理論近十年之久的超弦理論的先導，是物理學整體性研究的先導。1984年，M.V.Berry預言，在通常量子力學係統上出現量子幾何相位，這又是沿著上述物理描述的一個重要裡程碑，纖維叢就是物理整體描述的數學工具，物理的整體描述是最近20年物理基礎理論研究的重要方向。然而磁單極與希格斯質量微單元係綜的點內空間聯絡，在冇有場和粒子的普朗克尺度是明顯的。所以與國內跟他走的一批名家不同，楊振寧在國際上雖對超弦的方向存疑，但在規範場理論的國內運用上，他對層子模型有不同看法、異議。這兩疑和規範場都有內在衝突。當然，誇克已獲諾獎，層子模型自然不再繼續；但超弦，仍在丘成桐數學理論支援下，與規範場方向進行較量，是互補，還是取代，迫使我們坐下來想想：\\n\\n怎樣理解《失敗的價值》（紮雷Richard Zare），紮雷認為：創新性的研究是無數失敗和極少幾次成功的混合，真正的研究乃是一部由錯誤組成的喜劇，其中錯誤的事情一件接著一件發生。倘若研究真正具有創新性，那麼關於什麼將會發生或將被髮現，事先實在是冇有多少可以預測的。要學到的最重要的教訓之一就是：實驗是要失敗的，而且失敗是常事。實驗科學乃是對未知的一種探索，所以預先的計劃充其量不過是一種猜測而已。偉大的發現總會使我們大吃一驚。冇有什麼驚異的話，便不能認為這些發現已經改變了我們認識世界的方式。說服開始做研究的人接受失敗，承受再用另一方法去嘗試風險，這很困難，但又是必要的。\\n\\n發展一種\\\"恬然自安的精神分裂症的\\\"心態是有益的---你在同一時刻既熱情地相信，又批判地提問題，這看起來似乎是兩種互相矛盾的活動，但這種心態恰恰有助於探索自然之謎。你必須提出你自己最好的思想---關於某些東西可能是什麼樣子，然後立刻開始設計方法去檢驗這一關於自然界行為的思想，看它是否欺騙了你自己，或使你看不到正在發生的事情---這不是學會了與模棱兩可的思想共處。科學是一種顛覆性的活動。是一個從假說到理論再到科學定律的過程。實驗研究工作常常是在一係列失敗中穿插個彆的成功。人的本性會因一次次失敗而沮喪，然而，從失敗中學習，學會與失敗共處，對於變為一個成功的研究者是最關鍵的兩個因素。隻要有了\\\"恬然自安的精神分裂症\\\"的心態，就能接受失敗，把它當作產生真正有價值之創新的唯一道路。\\n\\n這個模型提供了弱電統一理論，納入定域非阿貝爾規範場理論的框架。可是這個理論的規範場向量介子質量問題未能解決，也是未能重整化的。然後是'tHooft和Veltman在1972年的裡程碑性的工作。它們證明有一種非阿貝爾規範場理論可重整化的。即他們證明具有自發破缺的規範場論是可重整的和麼正的。自發破缺機製有好些人研究過，最著名的成果是P.Higgs證明的標量場耦合到非阿貝爾規範場而使定域規範對稱自發破缺。由於連續對稱的自發破缺伴隨出現Golastone粒子，零質量的規範場量\\\"吃掉\\\"了這種場量子而帶有質量。這種機製，現今稱為Higgs機製，引入大標量場稱為Higgs場，引入這種機製的非阿貝爾規範場在理論上成功地解決了規範場量子的質量問題、重正化問題。\\n\\n這一理論是物理學基礎的重大突破，理論中出現的向量介子，就是弱電統一相互作用，稱為自然界的基礎性的規律之一。規範場的研究導致了三個諾貝爾物理學獎：S.L.Glashow，A.Salam，S.Weinberg獲得1979年諾貝爾物理學獎；G'tHooft, M.Veltman獲得1999年諾貝爾物理學獎；帶電和中性重介子（W Z0）的實驗發現，使W.C.Rubbia和S. Vander Meer獲得1984年諾貝爾物理學獎。\\n\\n\"

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